Abstract. Können zwei verschiedene Metriken auf einer Mannigfaltigkeit gleiche Geodätische haben? Ja! Die ersten Beispiele wurden bereits von Lagrange konstruiert, und verschiedene Verallgemeinerungen der Frage wurden vor 100 Jahren von fast allen Differentialgeometern studiert. In der ersten Teil meines Vortrags werde ich mich auf die topologische Version der Frage konzentrieren: auf welchen Mannigfaltigkeiten können zwei solche Metriken existieren. Die Methoden kommen teilweise aus der Theorie von integrablen Systeme. Außerdem werde ich noch drei Ergebnisse präsentieren: die Lösungen der Vermutung von Lichnerowicz, des Problems von Lie, und des Problems von Weyl und Ehlers.